函数可积的条件与可积函数的性质

    

    从定义6.1.3中去判断函数f是否可积无疑是相当困难的，下面我们给出函数f在闭区间［a,b］上可积的充分条件，其证明可参阅一般的《数学分析》教材。

    定理6.2.1　若f在区间［a,b］上连续，则f在［a,b］上可积。

    定理6.2.2　若函数f在区间［a,b］上只有有限个间断点，且有界，则f在［a,b］上可积。

    定理6.2.3　若f在区间［a,b］上单调，则f在［a,b］上可积。

    例6.2.4　求（1）其中k为常数；　（2）

    解　（1）对于［a,b］的任何分割P＝［x₀,x₁,…,x_n］和P的任意介点ξ＝［ξ₁,ξ₂,…,ξ_n］，记∆x_i＝x_i－x_i－1，则

    

    所以

    

    （2）因为函数f（x）＝x，x∈［a,b］连续，所以f在［a,b］上可积。因此，取一个分割（即i＝0,1,2,…,n）

    

    和介点ξ_i＝x_i－1，i＝1，2…，n，即

    

    有

    

    当‖P‖→0时，即n→∞时

    

    即得

    其实，从定积分的几何意义容易计算例6.2.4这两个定积分的值。

    下面我们给出可积函数及其定积分的一些性质。

    定理6.2.5　设函数f，g在［a,b］上可积，则

    其中k为常数；

    

    读者可利用定义6.1.3自行证明。

    定理6.2.6（定积分的可加性）　设f在［a,c］，［c,b］上可积，则f在［a,b］上可积，且

    

    证略。

    显然，如果f在相应区间上可积，则对c＜a或c＞b的情形，上述可加性仍然成立。

    定理6.2.7　设函数f在［a,b］上可积，则f在［a,b］上有界。

    证明　设f在［a,b］上的定积分值为I，则由定义6.1.3，对ε＝1，存在一个分割P＝［x₀,x₁,…,x_n］和介点ξ＝［ξ₁,ξ₂，…，ξ_n］，使

    

    其中ξ_i∈［x_i－1,x_i］，∆x_i＝x_i－x_i－1，i＝1，2，…，n，所以

    

    从而有

    

    若固定［x_i－1,x_i］中的ξ_i，i＝2，3，…，n，则上述不等式右边为一正常数，且对任意的ξ₁∈［x₀，x₁］都成立

    

    这就证明了f在［x₀,x₁］上是有界的。同理可证明f在［x_i－1,x_i］，i＝2，3，…，n上是有界的，因此，f在［a,b］上有界。　　□

    由定理6.2.5知，在积分区间上无界的函数是不可积的，例如设

    

    则不存在，因为被积函数在积分区间上是无界的。

    但是若函数有界也未必可积，例如Dirichlet（狄利克雷）函数

    

    在任何区间［a,b］上有｜D（x）｜≤1，即有界，但不可积，因为对任何分割P，当介点都取有理数时

    

    当介点都取无理数时

    

    由定义6.1.3知，Dirichlet函数在任何区间上不可积。

    定理6.2.8　（1）设函数f在［a,b］上可积且非负，则有

    （2）设函数f，g在［a,b］上可积，且f（x）≥g（x），x∈［a,b］，则

    

    （3）设函数f在［a,b］上可积，则

    （4）设函数f在［a,b］上连续，非负且不恒等于零，则

    证明　（1）、（2）、（3）的证明留给读者自己完成，现证明（4）：

    由于f非负且不恒等于零，所以存在x₀∈［a,b］，使f（x₀）＞0．又由f的连续性可知存在一子区间［x₀－δ，x₀＋δ］⊂［a,b］，δ＞0，使对一切x∈［x₀－δ，x₀＋δ］，有

    

    所以由（1）与定积分的可加性有

    

    定理6.2.9（积分中值定理）　设f，g在［a,b］上连续，且g在［a,b］上不变号，则至少存在一点ξ∈［a,b］，使得

    

    证明　若g在［a,b］上恒等于零，则结论显然成立。现不妨假设g在［a,b］上大于等于零且不恒等于零，由定理6.2.8（4）知又由闭区间上连续函数的性质知，f在［a,b］上存在最大值M与最小值m，于是有

    m≤f（x）≤M（a≤x≤b）．

    从而有

    mg（x）≤f（x）g（x）≤Mg（x），（a≤x≤b）

    由定理6.2.8（2）知

    

    即有

    

    再由连续函数的介值定理，至少存在一点ξ∈［a,b］，使得

    

    即

    特别地，若令定理6.2.9中的g≡1，则可得下面推论。

    推论6.2.10　设f在［a,b］上连续，则至少存在一点ξ∈［a,b］，使得

    

    推论6.2.10有以下简单的几何意义：由连续曲线y＝f（x）（不妨设f（x）≥0），x＝a，x＝b和y＝0围成的曲边梯形面积等于以f（ξ）为高，b－a为底边长的矩形面积，如图6.5所示。即f（ξ）为y＝f（x）在［a,b］上的平均“高度”，因此值也称为函数f在［a,b］上的平均值。

    

    图6.5

    例6.2.11　证明

    证明　因为

    

    所以函数内单调增加，于是有

    

    由定理6.2.8（2）得