§5.4 幂级数·级数求和法
幂级数∑an(x-x0)n和∑anxn只相差一个平移变换,故只需讨论∑anxn的性质、收敛性、求和法。
幂级数包含三方面内容:
1.已知函数f(x)在x=0或x=x0的幂级数展开;
2.幂级数的性质(收敛半径、逐项可导、逐项可微等等);
3.幂级数及数项级数求和法。
对第一项内容在Taylor展开部分已作了一定讨论,现只要掌握几个重要的幂级数展开式:ex,sinx,cosx,(1+x)α,ln(1+x),并记牢它们的收敛域。
本节主要研究第二、三项内容。
一、幂级数的收敛性与一致收敛性
1.幂级数的收敛半径与收敛范围
(1)柯西-阿达玛公式:收敛半径
特别,当极限存在时,可将上极限置换成极限;公式(1)中的分母允许取到0或+∞。
(3)对区间的端点,要单独进行讨论(往往用交错级数的Leibniz判别法,或拉阿伯判别法等)。
例1 求幂级数∑anxn的收敛域,其中系数{an}如下:
(3)an表示正整数n的因子的个数;
若b<a时,类似讨论。
(4)由二项式定理
2.幂级数的一致收敛性
Abel第二定理:设幂级数∑anxn的收敛半径为R,则该幂级数在其收敛区间内闭一致收敛,又若级数在端点R处收敛,则它必在[a,R](-R<a<R)上一致收敛。
二、幂级数的和函数的性质
设S(x)=∑anxn,收敛半径为R。
1.和函数连续性
Abel定理 S(x)在收敛区间上连续。
(若幂级数在端点处收敛,则和函数在该端点亦单边连续)。
2.逐项可积性
3.逐项可导性
但只须对幂级数的系数an给以一定条件,则某种类型的“Abel定性的逆定理”还是成立的,请看下述例子。
(1)an≥0;
(2)limnan=0;
在证明了∑anxn在x=1收敛后,由Abel定理必有∑an=S。
(2)、(3)款的证明读者可以参阅[3]§5.6节。限于篇幅,在此不证。
(2)此级数的收敛域为(-1,1];
(3)在(-1,1]上此级数不一致收敛。
(武汉大学1996年)
证明 (1)以前已经证得,参见§1.1例4。
(3)由于级数在x=-1处发散,易知在(-1,1]不一致收敛。
若用不一致收敛的定义,则有一定难度:
(北京科技大学2001年)
注 本例的变量代换化简技巧值得仿效与思考,巧用已知函数的Taylor展开式亦值得留意。
三、幂级数求和法
1.利用逐项求导和逐项求积分
在端点±1处,另行计算出S(1)=2ln2-1S(-1)=1。
解 该级数收敛区间(-1,1)∀|x|<1,逐项积分得
所以
2.方程式法
要点:设法证明级数的和函数满足某个微分方程,然后解此方程。
解 收敛区间(-∞,+∞),逐项求导知
S′(x)=1+xS(x),且S(0)=1
依据贝努里方程y′+p(x)y=Q(x)的通解公式
3.三角级数求和法
解 令z=eix=cosx+isinx(欧拉公式)
得知;
4.利用级数的柯西乘积公式
由迫敛性知
从而收敛半径R=1,端点±1处显然发散。所以级数的收敛域是(-1,1)。联想级数的乘积公式:∀x∈(-1,1),如下的两个幂级数
皆绝对收敛(乃幂级数之性质),相乘立得:
若将题目改成:
或
又将如何求和?
四、数项级数求和法
1.拆项相消法
便可以拆项相消。
解 由于
易知
2.利用Abel第二定理即和函数连续性计算
所以
更一般地,笔者曾探讨一类所谓的等间距交错级数u1+u2+…+uq-uq+1-uq+2-…-u2q+u2q+1+…(其中q为某自然数,un≥0)的收敛性及求和法,推广了Leibniz交错级数收敛性判别法,并就un是等差正整数列的倒数的情形推导了一般求和公式。在此兹撷取两个结果:
对相关结论有兴趣的读者可以参阅[21]。
在(-1,1)内逐项求导两次,得
求积分两次得出f(x)=(x+2)ln(1+x)-2x,所以所求的和S=f(1)=3ln2-2。
3.利用欧拉常数
解二 令
逐项求导方法亦可以解得。
4.利用Fourier级数
Fourier级数的相关知识将在下一节中详加叙述,本段仅提供一个用Fourier级数求解数项级数和的例子。
令x=0,同样得出
若记
则
习题5.4
(1993年数学(一))
(2002年数学(一))
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