如何证明三点共线
黄金殿
在初中几何教学中，遇到证明三点共线的习题较多。概括起来有两类：一类是直接证明三点共线的习题，另一类是证明某个结论需要证明三点共线的习题。这两类习题在教材中出现不多，但证法不易掌握，很多学生无处下手。现总结证明方法如下。
一、应用平行公理证明
（平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行）
例1 已知如图，∠A+∠C=180°，∠1=∠2。
求证：A、B、E三点共线。
证明：∵∠A+∠C=180°（已知）A B
∴AB//CD（同旁内角互补，两直线平行）。
∵∠1=∠2（已知）
∴BE//CD（内错角相等，两直线平行）CD
∴A、B、E三点在一条直线上。
二、应用平角定义
例2 已知如图，COD是直线，∠1=∠3。
求证：A、O、B三点在一条直线上。
证明：∵COD是一条直线。
∴∠1+∠2=180°（平面定义）。
∵∠1=∠3，∴∠2+∠3=180°。
∴A、O、B三点在一条直线上（平角定义）。
三、应用垂线的性质D
（垂线性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直）
例3 已知，菱形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，ON⊥AD，OM⊥BC，OE⊥AB，OF⊥CD，点N、M、E、F分别为垂足。
求证：四边形EMFN是矩形。
证明:∵四边形ABCD是菱形。
∴AD//BC.
∵OM⊥BC，∴OM⊥AD。
又∵ON⊥AD，过O只能作一条直线垂直于AD。
∴M、N、O在一条直线上。
同理E、F、O也在同一条直线上。
∵在菱形ABCD中，∠1=∠2（菱形性质定理2）。
又∵OE⊥AB,ON⊥AD，∴OE=ON。
同理OE=OM.OM=OF，∴OE=OF，OM=ON。
∴四边形EMFN是平行四边形（平行四边形判定定理3）。
∴OE+OF=OM+ON，即EF=MN。
∴EMFN是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。
（载《现代中学生》2007年第10期）
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