第节，相似矩阵的概念与性质

    (1/3) 相似矩阵的概念

    设A，B都是n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得成立，则称B是A的相似矩阵，或说矩阵A与B相似，记作。

    (2/3) 相似矩阵的性质

    （1）反身性 对任意的方阵，与相似； （2）对称性 若与相似，则与相似； （3）传递性 若与相似，与相似，则与相似．

    (3/3) 相似矩阵的相关结论

    （1）相似矩阵的秩和行列式都相同． 证明：因为与相似，所以存在可逆矩阵，使，因此，且（2）相似矩阵有相同的可逆性，且可逆时其逆也相似． 证明： 由（1）有，所以它们的可逆性是相同的．设与相似，且可逆，则也可逆，且即与相似． （3）若n阶矩阵A与B相似，则A与B具有相同的特征多项式，从而A与B有相同的特征值． 证明：因为A与B相似，所以有可逆矩阵P，使，因此即A与B有相同的特征多项式。 推论：若n阶矩阵A与对角矩阵相似，则，是A的n个特征值． （4）若n阶矩阵A与B相似，则A与B具有相同的迹（）。 （5）若n阶矩阵A与B相似，由，要联想到以下结论： （i），。 （ii），进而知以及。 （iii），进而可以用相似求方幂（6）若，且A，B都可逆，则。 （7）若，则。