四则混合运算

    （一）四则混合运算的定义

    在一个算式里，如果含两种或两种以上的不同运算，通常称为混合运算，也可以叫四则混合运算。

    （二）四则混合运算的顺序

    加、减、乘、除四则运算，通常分成两级：加法和减法叫作第一级运算，乘法和除法叫作第二级运算。在同一级运算中，如果没有括号，一般按从左到右的顺序进行计算。

    在两级混合运算中，如果没有括号，应先算第二级运算，后算第一级运算。

    在有括号的算式里，要先算括号里面的；如果一个算式中，既有小括号，又有中括号、大括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后再算大括号里面的。

    分数、小数的四则混合运算，要根据算式中数字的特点，先确定是把分数化成小数，还是把小数化成分数后再计算。

    （三）四则混合运算的要点

    （1）整体观察，选择方法，先看能否进行简便计算。

    （2）认真审题，弄清运算顺序，第一步算什么，第二步算什么……还要分辨出哪些步骤可同时进行。

    （3）认真演算，做到每一步准确无误。

    （4）及时检查、验算。

    （四）整数的四则混合运算

    整数四则混合运算的顺序：

    （1）没有括号的同级运算，按照从左到右的顺序进行计算。

    （2）没有括号的两级运算，先算乘除法（第二级运算），再算加减法（第一级运算）。

    （3）有括号的混合运算，先算小括号里的运算，再算中括号里的运算，最后算括号外面的运算。

    例1：同级运算：

    （1）87-9+26-28

    （2）65×2÷10×5

    解：（1）87-9+26-28

    =78+26-28

    =104-28

    =76

    （2）65×2÷10×5

    =130÷10×5

    =13×5

    =65

    例2：两级运算：

    1000-100÷20+4×15

    解：1000-100÷20+4×15

    =1000-5+60←先算乘除法再算加减法

    =995+60

    =1055

    例3：有括号的混合运算：

    （1）300-（20+25×3）

    （2）72÷[6×（8+14-10）]+9

    （3）8×[40-（60×2-20）]

    解：（1）300-（20+25×3）←先算小括号里的乘法

    =300-（20+75）←再算小括号里的加法

    =300-95

    =205

    （2）72÷[6×（8+14-10）]+9

    =72÷[6×（22-10）]+9←先算小括号里的运算

    =72÷[6×12]+9←再算中括号里的运算

    =72÷72+9

    =1+9

    =10

    （3）8×[40-（60×2-20）]

    =8×[400-（120-20）]←先算小括号里的乘法

    =8×[400-100]←再算中括号里的减法

    =8×300

    =2400

    （五）小数的四则混合运算

    小数的四则混合运算顺序：

    （1）同级运算中，按照从左往右的顺序依次计算。

    （2）在有两级运算中，先算第二级运算，再算第一级运算。

    （3）有括号的算式，先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的，然后算括号外的。

    例1：13.62+4.58-6.9

    解：加减法是同级运算，从左往右依次运算。

    13.62+4.58-6.9

    =18.2-6.9

    =11.3

    例2：21.6÷2.4×4.5

    解：乘除法是同级运算，从左往右依次运算。

    21.6÷2.4×4.5

    =9×4.5

    =40.5

    例3：45.6×2.5+5.6×3.5

    解：乘法和加法是不同级的运算，先算乘，后算加。

    45.6×2.5+5.6×3.5

    =114+19.6

    =133.6

    例4：2.1÷[（3.7+2.3）×0.5]+3.4

    解：有小括号和中括号，先算小括号里的，再算中括号里的。

    2.1÷[（3.7+2.3）×0.5]+3.4

    =2.1÷[6×0.5]+3.4

    =2.1÷3+3.4

    =0.7+3.4

    =4.1

    例5：0.99×1-0÷0.1+1÷0.1

    解：0.99×1-0÷0.1+1÷0.1

    =0.99-0+10←先算二级运算

    =10.99←再算第一级运算

    例6：8-1.2×1.5+742÷（2.544÷2.4）=.

    解：原式=8-1.8+742÷1.06

    =6.2+700=706.2

    =32+61+45=138

    （六）分数的四则混合运算

    分数四则混合运算顺序：

    分数四则混合运算顺序与整数四则混合运算顺序相同：先乘除，后加减，有括号的要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。

    分析：此题是34除以两个数的和，而不是34乘两个数的和，所以不可套用乘法分配律去简算。算式中有小括号，应先算小括号里面的加法，再用34除以括号里的结果。

    =3/5

    智慧点拨：在解这道题目时，我们发现题例中的“÷”若为“×”则可运用乘法分配律简算。但是不是所有除法都不可以运用分配律简算呢？也不尽然，例题中如果算式是（3/4+1/2）÷3/4，则可套用乘法分配律，这是根据分数除法的计算法则：“一个数除以分数，等于乘这个分数的倒数”，把除法转化成乘法就可以了。

    分析：这道题很长而且是分数运算，若是按异分母分数加法的一般方法，先通分再计算，既复杂又耗时间。如果我们先找规律，就可以巧妙地找到答案。

    从以上规律可知：

    如果用“数形结合”的方法，答案更加一目了然。

    从图中很容易看出：若把大正方形看作“1”，那么阴影部分占64。

    （七）分数与小数的四则混合运算

    1.分数和小数的加减混合运算

    分数和小数的加减混合运算，要根据题目的具体情况灵活运用，把分数化成小数，或者把小数化成分数，然后再计算。

    （1）如果分数能化成有限小数，就可以将分数化为小数，然后再进行加减运算，使计算更加简便。

    （2）如果分数不能化成有限小数，就把小数化成分数，然后进行分数的通分，再相加减。

    分析：2/13和17虽然不能化成有限小数，但题目要求保留两位小数，也就是说允许取近似值，因此把分数转化为比题目要求多一位的小数再计算。

    评注：此题也可以统一转化为分数，计算出结果后，再转化成小数取近似值。

    分析：1/25能化成有限小数，所以统一成小数计算，比较简便

    点评：一般情况下，如果一个数的分母的质因数只有2或5，那么这个分数就一定能化成有限小数，这是判断分数能否化成有限小数的一个简便方法。

    2.分数与小数的乘除法混合运算

    （1）分数、小数乘法混合运算时，先判断小数能否被另一个因数（分数）的分母除尽，如果能除尽，可先用小数和分数的分母约分，再进行计算；如果不能除尽，就把小数化为分数，然后按分数乘法法则进行计算。

    （2）分数小数除法混合运算时，如果被除数是小数，先判断被除数能否被分数的分子除尽，如果能除尽，则可以直接计算；如果不能除尽，则先把小数化成分数再进行计算；如果除数是小数，一般化成分数计算比较简单。

    分析：观察算式，虽然6.1能被5除尽，但变成了两位小数，所以可将6.1转化为分数简便计算。

    分析：这是一道四则混合运算题，首先要确定正确的运算顺序，本题只含有乘除运算，按照运算顺序从左到右依次进行。在解题过程中，要注意一些特殊数字对运算顺序的干扰，避免出现4×2/9÷4×2/9=1这样的错误。

    3.分数与小数的四则混合运算

    分数与小数的四则混合运算的顺序，与整数四则混合运算顺序相同，运算的基础主要是分数与小数的互化，在平时的运算过程中，应积累一些分数、小数互化的常用值，以便提高计算速度。如：

    分析：本题虽然只有“-”“÷”“+”三步计算，但每一步都涉及判断确定用小数计算还是用分数计算的问题，因此要善于观察算式特点，做出准确判断。

    （）.

    分析：此题是考查学生的推理和计算的综合运用能力。在解题时，可采用倒推法，使上面的等式变成一道四则混合运算的试题，再进行解答。

    解：根据题意，原等式可变为：

    4.分数与小数的复杂混合计算

    这部分主要针对运算中相对比较复杂、难度较大的题目来讲解，要学会善于捕捉题目中可利用的条件来找到解题的关键点。

    评注：本题没有简便方法，主要考查同学们对小数与分数问题转化的熟练度。在解题过程中应考虑用分数形式简单还是用小数形式简单，选择合适的形式会简化计算过程。

    分析：每个括号里的分数分母不同，但由于整个式子都是连加的，可以将分母相同的分数重新组合计算。