极限存在准则

    1）夹逼准则

    定理1　如果数列{an}，{bn}，{cn}满足：

    （1）存在正整数N，当n＞N时，有an≤cn≤bn；

    a－ε＜an＜a＋ε；

    当n＞N2时有

    a－ε＜bn＜a＋ε．

    取N3＝max{N，N1，N2}，则当n＞N3时，有

    a－ε＜an≤cn≤bn＜a＋ε，

    即

    ∣cn－a∣＜ε，

    所以

    这个定理不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一种求极限的方法．

    由夹逼准则知

    上述数列极限存在准则可以推广到函数极限的情形．

    定理2　如果函数f（x），h（x），g（x）满足：

    （1）在x0的某个去心邻域内，f（x）≤h（x）≤g（x）；

    则

    解　由于

    当x＞0时

    另一方面，当x＜0时

    综上所述，得

    2）单调有界准则

    定义　如果数列{an}满足

    a1≤a2≤…≤an≤an＋1≤…

    则称{an}是单调增加数列；如果数列{an}满足

    a1≥a2≥…≥an≥an＋1≥…

    则称{an}是单调减少数列．单调增加和单调减少数列统称为单调数列．

    定理3（单调有界准则）　单调有界数列必有极限．

    证　显然{an}是单调增加的，下面证明{an}有上界．事实上

    于是，由单调有界准则，数列{an}收敛．

    证　由于

    所以

    因为

    故

    从而

    即

    e是一个无理数，它的值是

    e≈2.718 281 828 459…

    即

    故

    sin x＜x＜tan x．

    图1.13

    不等式各边同除以sin x，有

    解

    证　先考虑x→＋∞的情形．任意x≥1，有

    故

    则

    由例4有

    由夹逼准则有

    再证x→－∞的情形．当x＜0时，设x＝－y，则x→－∞时y→＋∞，故

    综合有

    这个重要极限的另一种形式为

    解

    例9　设某人以本金p元进行一项投资，投资的年利率为r．如果以年为单位计算复利（即每年计息一次，并把利息加入下年的本金，重复计息），那么t年后，资金总额将变为

    而若以月为单位计算复利（即每月计息一次，并把利息加入下月的本金，重复计息），那么t年后，资金总额将变为

    这样类推，若以天为单位计算复利，那么t年后，资金总额将变为

    现在让n→∞，即每时每刻计算复利（称为连续复利），那么t年后，资金总额将变为

    1．求下列极限：

    2．求下列极限：

    3．利用夹逼准则求下列数列的极限：

    4．利用单调有界准则证明下列数列收敛．