连续函数的导函数一定连续吗

§2.2　闭区间上连续函数的性质

    闭区间上的连续函数满足四个性质：有界性；最值性；介值性；一致连续性。

    思考　开区间上的连续函数未必具备上述性质，但介值性如何？反之，若闭区间上的函数具备介值性，是否连续呢？未必。

    如

    在介值性之外，再加上什么条件可以保证连续呢？

    例1　［a，b］上具有介值性的单调函数一定连续（易证）。

    例2　设f定义于R上具有介值性，当r为有理数时，A_r＝｛x：f（x）＝r｝为闭集。求证：f在R上连续。

    证明　反证法，若x₀是间断点，∃ε₀>0，以及一列｛x_n｝，x_n→x₀，使得

    ｜f（x_n）－f（x₀）｜≥ε₀

    故必有无穷多个落入f（x₀）－ε的左侧或者f（x₀）＋ε的右侧。不妨认为无穷多个，故存在有理数r₁，使，由介值性，∃介于与x₀之间的点ξ_k，f（ξ_k）＝r₁。

    显然ξ_k→x₀，又｛x：f（x）＝r₁｝是闭的，所以，与r₁<f（x₀）矛盾。

    特殊推论：若介值点唯一的话，亦必定连续。（参阅本节习题10）

    例3　设f（x）∈［0，1］，f（0）＝f（1），证明∀自然数n，∃ξ∈（0，1），st。

    证法一　当n＝1时，取ξ＝0即可；当n>1时，不妨设f（0）＝f（1）＝0，且∃x₀使得f（x₀）是f在［0，1］上的最大值点，f（x₀）＝M>0，构造，则

    

    

    注　必要时，可将f（x）延拓定义，当时，f（x）≡0，则f（x）∈C（R）。

    例4　设f（x）对一切x满足f（x²）＝f（x），且f（x）在x＝0及x＝1处连续，证明f≡C。

    证　首先f（x）是偶函数，∀0<x<1，

    

    当x>1时，，知

    

    例5　设f（x）∈C（R），∀x，y，有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），证明f（x）＝kx（k为常数）。

    证　首先f（0）＝0，f（1－1）＝f（1）＋f（－1）＝0，f（－1）＝－f（1）。

    当k∈N时，f（k）＝kf（1），f（－k）＝kf（－1）＝－kf（1）。进一步地，，对一切有理数r，f（r）＝rf（1）。再利用连续性，得知f（x）＝f（1）x。

    例6　若f（x）在R上连续且∀x，y有，证明f为线性函数。

    证法一　

    引入g（x）＝f（x）－f（0），则上式写为

    

    从条件式两边减去f（0），又得

    

    即

    

    此式可等价地写为g（x＋y）＝g（x）＋g（y），由g（x）连续易知（见§2.2例5）

    g（x）＝kx　（k＝g（1）＝f（1）－f（0））

    所以f（x）＝g（x）＋f（0）＝kx＋b其中b＝f（0），k＝f（1）－f（0）。

    注　此法的实质是先令f（0）＝0时，推得f（x）＝f（1）x。

    证法二　记A（0，f（0）），B（1，f（1）），连结AB的直线记为L。

    依条件，AB的中点M在曲线f（x）上，依次类推，A、M的中点，M、B的中点都在直线L上，一直均分。由于中点集在［0，1］上稠密，再由连续性知，当x∈［0，1］时，f（x）的曲线即为AB。再记C（2，f（2）），A、C的中点必在直线AC上，等价于C必在AB的延长线上，即A、B、C三点共线，于是又得f（x）在［0，2］的图形是直线段L。依次类推，f（x）在［0，2ⁿ］上的图形即为直线L。往x左半轴完全类似推得。

    例7　设f：［0，1］→［0，1］为连续函数，f（0）＝0，f（1）＝1，且f（f（x））＝x。试证f（x）＝x。

    分析　介值性、介值唯一性、一一对应性、单调性、连续性之间的关系错综复杂，现在已知f连续，故必有介值性，下证其一定严格单调。为此，只要证明其介值唯一性或一一对应性。∀x₁，x₂∈［0，1］，若f（x₁）＝f（x₂），则有f（f（x₁））＝f（f（x₂）），即x₁＝x₂，故f（x）必为一一对应。

    所以f（x）严格单调，又由于f（0）＝0，f（1）＝1，所以f（x）↗

    证明　先证f（x）为一一对应，如上得出f（x）↗。

    

    研究题：将例7中的条件改为f（0）＝1，f（1）＝0，其余不变。思考：找出满足要求的一个函数，如f（x）＝1－x。当然f（x）必须是严格递减。再问：此f（x）是否是唯一的满足要求的函数？

    注　可归结为以下条件，f（x）严格递减且当x≤1－f（x）时，有x≥f（1－x）；当x≥1－f（x）时有x≤f（1－x）。

    习题2.2

    1．证明：不存在R上连续函数，使对任一函数值都刚好只取到两次。

    2．设f（x）∈C（R），对任意x，y，有f（x＋y）＝f（x）f（y），证明f（x）≡0或者f（x）＝a^x。

    3．设f（x），g（x）∈C［a，b］，若不等式组在［a，b］上无解，则存在ε>0，使得不等式组在［a，b］上无解；试求出满足上述条件的ε的上确界。

    4．是否存在映［0，1）为（0，1）的连续映射？是否存在映（0，1）为［0，1）的连续映射？是否存在映［0，1）为（0，1）的单值映射？若有，举出例子，若不存在，给出证明。

    5．设f（x）∈C（R），。

    6．设f（x）∈C（R），，且f（x）的最小值f（x₀）<x₀，证明f（f（x））至少有两点取到最小值。

    （哈尔滨工业大学1999年）

    7．证明：若f在区间I上连续，且为一一映射，则f在I上严格单调。

    （华东师大1999年）

    8．设连续函数y＝f（x），x∈［a，b］，其值域彻［a，b］。证明f在［a，b］中一定有不动点。

    （复旦大学）

    9．设f（x）在［a，a＋2λ］上连续，证明：存在ξ∈［a，a＋λ］，使得。

    （北京大学2002年）

    10．设f定义于［a，b］上，且任给闭区间［x₁，x₂］⊂［a，b］，对介于f（x₁）与f（x₂）的任一常数τ，方程f（x）＝τ在［x₁，x₂］上有且仅有有限个解。试证f在［a，b］连续。

    11．（1）证明：若R上连续函数f满足，则f（x）＝x；

    　　（2）试给出一个满足且在R上点点不连续的函数f（x）。

    （浙江省高等数学竞赛2006年）