特勒根定理

    

    本节介绍网络理论中在基尔霍夫定律基础上导出的一个普遍性定理——特勒根定理。和基尔霍夫定律一样，特勒根定理与网络元件的特性无关，因此它也适用于非线性参数或时变参数的网络。

    1.特勒根功率定理

    在具有n个节点和b条支路的网络N中，支路电压向量和支路电流向量分别为

    

    证明设网络N的节点电压向量为

    

    网络的关联矩阵为A，则由式（8-2）有

    

    将上式两端同时取转置，则得

    

    此式两端右乘以ib（t），得

    

    由式（8-1）（KCL方程）知

    

    于是有

    

    把上式表示成代数式，则为

    

    证毕。

    式（8-54）表明：在任意网络N中，在任一瞬时t，各支路吸收的功率的代数和恒等于零。

    2.特勒根似功率定理

    

    证将ub（t）、=ATun（t）两端同时转置，得

    

    此式两端右乘以（t），则有

    证毕。

    同理可证式（8-56）。

    式（8-55）和式（8-56）的代数式表示为

    

    式（8-57）和式（8-58）表明：在有向图相同的任意网络N和中，一网络的支路电压与另一网络对应支路电流的乘积的代数和恒等于零。由于两式中每一项仅仅是一个数学量，没有什么物理意义，故称似功率。

    3.特勒根定理的应用——复功率守恒定理的证明

    设正弦电流电路具有n个节点和b条支路，支路电压相量和支路电流相量分别为和（k=1，2，…，b）；又令。根据KCL，对网络每一节点有

    

    所以有

    

    如果取ik的共轭复数，即，显然对每一节点有此式表明，任何正弦电流电路的支路电流相量的共轭复数也是满足KCL的；而正弦电流电路的支路电压相量当然是满足KVL的。因此，根据特勒根似功率定理有

    

    式（8-59）表明：在任意正弦电流电路中，各支路吸收的复功率之和恒等于零。这就是复功率守恒定理。

    又因为，则式（8-59）又可写为

    

    故有

    式（8-60）表明正弦电流电路中平均功率是守恒的；式（8-61）表明正弦电流电路中无功功率也是守恒的。