二重极限与累次极限的联系与区别

    

    一、二重极限的概念及计算

    1．二重极限的ε－δ定义（方形邻域或圆形邻域）。

    2．海因定理的充分必要条件是：P以任何点列、任何方式趋于P₀时，f（P）的极限都是A。

    注　当动点P以不同方式或路径趋于P₀时，f（P）的极限不相等，则可以判定二重极限不存在。

    3．若两个累次极限都存在但不等，则可以判定二重极限不存在。

    例1　利用ε－δ语言证明。

    证一　显而易见

    ∀ε>0，若采用方形邻域，

    当｜x｜<δ，｜y｜<δ，且x²＋y²≠0时，必有｜f（x，y）－0｜<ε。

    若采用圆形邻域，∃δ＝2ε，st

    当时，有｜f（x，y）－0｜<ε，证得。

    证二　利用极坐标变换等价于r→0

    

    ∀ε>0，，当0<r<δ时，有｜f（x，y）－0｜<ε成立。

    例2　讨论在原点处的极限。

    解　尝试P（x，y）沿着不同路径趋于原点时的极限

    沿直线L：y＝kx趋于（0，0）时，易知

    

    沿抛物线C：x＝y²趋于（0，0）时

    

    所以二重极限不存在。再讨论一下两个累次极限，易知

    

    例3　求下列极限

    

    解　（1）取对数　记

    利用极坐标变换lny＝r⁴cos²θsin²θlnr²

    

    故原极限＝e⁰＝1

    

    或利用极坐标

    （3）对于充分大的x和y

    

    或x²＋y²<（x＋y）²，（x>0，y>0）

    令x＋y＝u

    

    u→＋∞时，上式趋于0。

    

    （5）利用极坐标变换

    ｜（x＋y）ln（x²＋y²）｜＝r｜cosθ＋sinθ｜｜lnr²｜<4r｜lnr｜→0

    或利用不等式：

    二、累次极限以及与二重极限的相互关系

    1．累次极限的概念

    2．累次极限面面观

    （1）两个累次极限存在且相等，如在P₀（0，0）处；

    （2）两个累次极限存在但不相等，如在P₀（0，0）处；

    （3）仅一个累次极限存在，如在P₀（0，0）处；

    （4）两个累次极限都不存在，如在P₀（0，0）处。

    3．累次极限和二重极限之关系

    （1）两个累次极限存在且相等，重极限未必存在，如在P₀（0，0）处；

    （2）重极限存在，累次极限可以不存在，如在P₀（0，0）处；

    （3）若已知重极限和某个累次极限存在，则两者一定相等。

    （4）若f在P₀的两个累次极限皆存在但不等，则二重极限一定不存在。

    例4　讨论下列函数在（0，0）的重极限与累次极限

    

    解　（1）易知两个累次极限皆等于0，下面考虑二重极限。若二重极限存在的话，其值一定等于0；但在直线L：y＝－x上，f（x，y）没有定义，故不存在。

    以极坐标变换解之：

    未必有界，亦得知二重极限不存在。

    注　若限制动点P（x，y）在第一象限范围趋于（0，0），则存在。

    （2）∀y≠0，先考虑，知累次极限不存在，类似地，另一个累次极限亦不存在。再讨论二重极限。

    沿着直线L：y＝2x趋于（0，0）时，

    

    得知二重极限也不存在。

    三、连续性

    1．定义　设f为定义在平面点集D⊂R²上的二元函数，P₀∈D，若∀ε>0，∃δ>0，只要P∈U（P₀，δ）∩D，就有

    ｜f（P）－f（P₀）｜<ε

    则称f关于集合D在点P₀连续。若f在D上任何点都连续，称f为D上连续函数。

    注1．通常D为平面区域（开区域，闭区域，及一般区域）。

    　　当P₀是D的边界点时，上述定义中的P∈U（P₀，δ）∩D就显得必不可少。

    　2．有界闭区域上连续函数的性质。（类似一元函数）

    　3．连续函数的复合函数的连续性。（复合运算的保连续性）

    例5　研究下列函数的连续性

    

    解　（1）只要讨论f在x轴上的连续性，∀x₀≠0，在（x₀，0）点

    

    知f（x，y）在点（x₀，0）处连续。在（0，0）点沿L：y＝x趋于（0，0）时，不存在极限，函数仅在原点（0，0）有间断。

    （2）函数的定义域是

    　

    只要考虑其在y轴上的连续性。

    ∀y轴上的点P₀（0，y₀）处，当（x，y）→（0，y₀）时，xy→0，利用等价无穷小量ln（1＋u）～u （u→0），得知

    

    于是f（x，y）在y轴上处处连续，而在定义域的其他点处连续性显见，总之f在定义域内处处连续。

    例6　根据下面的每一个条件证明f（x，y）在区域G连续。

    （1）f（x，y）在区域G内对x连续，且对y满足Lipschitz条件

    ｜f（x，y′）－f（x，y″）｜≤L｜y′－y″｜

    　　其中（x，y′，（x，y″）∈G，L为常数。

    （2）f（x，y）在G内对x连续，且关于x对y一致连续。

    （3）f（x，y）对x和y分别连续，并对其中一个单调。

    证明　（1）∀P₀（x₀，y₀）∈G，分析

    ｜f（x，y）－f（x₀，y₀）｜≤L｜f（x，y）－f（x，y₀）｜＋｜f（x，y₀）－f（x₀，y₀）｜

    ∀ε>0，由于f（x，y₀）是x的连续函数，∃δ₁>0，当｜x－x₀｜<δ₁时，

    

    又由Lipschitz条件，取，当｜y－y₀｜<δ₂时，

    ，∀x∈U（x₀；δ₁）成立。

    于是取δ＝min｛δ₁，δ₂｝，当｜x－x₀｜<δ，｜y－y₀｜<δ时，有

    ｜f（x，y）－f（x₀，y₀）｜<ε

    证得f在G内处处连续。

    （2）和（1）类似，关键在于对条件“f（x，y）关于x对y一致连续”的理解：

    ∀ε>0，∃δ>0，当｜y－y₀｜<δ时，有

    ｜f（x，y）－f（x，y₀）｜<ε

    ∀x成立，即δ对于所有的x是一致通用的！！

    （3）设f对x单调增加，∀ε>0，首先∃δ₁>0，st｜x－x₀｜≤δ₁时，

    

    又f（x₀±δ₁，y）关于y连续，∃δ₂>0，当｜y－y₀｜<δ₂时，有

    

    故当｜x－x₀｜≤δ₁，｜y－y₀｜<δ₂时，有

    综合之：

    ｜f（x，y）－f（x₀，y₀）｜<ε

    所以　f（x，y）在G中任一点（x₀，y₀）处连续。证毕。

    注　二元函数f（x，y）关于两个单变量分别连续（甚至可偏导）时，并不能推得二元连续，如

    例7　设f在单位元上有定义，f（x，0）在x＝0连续，且f_y′在G上有界，则f在（0，0）连续。

    （北京大学98年）

    证明