积分计算中的常规方法如第一、第二换元法，分部积分法，牛顿－莱布尼兹公式等等，相信读者都已相当熟悉了，在此不再赘述。本节我们主要介绍一些非常规但又很实用的方法。这些方法充分体现出数学思维的灵动美，有的反映出定积分计算特有的奥妙之处。希望读者朋友细加体会，领悟其中的奥妙进而熟练自如地应用。
一、分段技巧
例1 求
。
分析 关键是去掉绝对值，记积分为I。
解法一 当0≤a<b时，分部积分法，得
I＝（a＋1）e－a－（b＋1）e－b
a<b<0时，分部积分法，得
I＝（b－1）eb－（a－1）ea
a<0<b时，分部积分法，得
解法二 先求不定积分∫xe－｜x｜dx，然后套用牛顿－莱布尼兹公式
要求F（x）在x＝0处可导，至少必须连续，F（0＋）＝F（0－），推出
c1＝c2
所以 F（x）＝－｜x｜e－｜x｜－e－｜x｜＋c
最后得I＝F（b）－F（a）＝（｜a｜＋1）e－｜a｜－（｜b｜＋1）e－｜b｜。
例2 计算
。
解 记f（x）＝sgn［sin（lnx）］，易知f（x）在x＝0处无定义，在（0，1］上不连续点是e－kπ（k＝0，1，2，…），任意补充一个f（0），由于f在［0，1］上的有界性及其不连续点集仅有一个聚点，故f在［0，1］上R－可积。
当x∈［e－（k＋1）π，e－kπ］时，f（x）＝（－1）k＋1
例3 求
。
解 分析
被积函数有界且仅有可数个间数点。
间断点集的聚点唯一为0，故补充定义f（0）＝1，得知f在［0，1］上R－可积。故此类积分形式上是广义瑕积分，实质上仍是R－积分。
因此
思考：能否算出此级数的和？
分析 级数展开出来是
若换序，得出
此级数和为ln2－1<0，但原条件收敛级数不能随意地换序。换一种方式处理如下：
所以原积分＝2ln2－1。
例4 计算
。
分析 凡属于
一类积分，通法是令x＝π－t。
解 记原积分为I，令x＝π－t
再令万能置换u＝tant，但当
时，变换失效，故必须分段考虑
故得
二、递推关系的应用
著名的积分
就是用递推关系式
得出的。
在建立递推关系的过程中，分部积分法是关键技术手段。
例5 计算积分
解 由对称性，显然有
或
得
例6 计算积分
。
解 
例7 计算狄利克雷积分
解法一 利用积化和差易得
最后一项视n奇偶定夺。易算出Jn＝π。
解法二 
解法三 因为
所以 Jn＝Jn－1＝…＝J0＝π。
例8 计算
。
分析 当n是奇数时，此Jn相当于例7中的Jn除以2，即
（n奇）。
关键是当n为偶数时，联想和差化积公式
sinnx－sin（n－2）x＝2sinxcos（n－1）x
解 
故 
三、对称性原则
众所周知，若f（x）为［－a，a］上的奇函数时
；
若f（x）为［－a，a］上的偶函数时
。
在本段我们将对上述公式加以推广，得到另外两个公式（1）和（2），并结合实例说明其应用。
1．对一般的［－a，a］上的可积函数，有
例9 计算积分
解 
或令x＝－t代换亦可得。
2．区间［0，a］上的对称性公式
例10 求积分
解 
化归为求积分
。利用分段技术
例11 计算积分
。
解法一 考虑含参变量积分
此种引入参变量的方法在求一类特别难求的积分如
等时特别有效。但对本题而言显得大材小用，有点繁琐。
解法二 
而
故原积分等于
。
解法三 
注 将上述三种解法作一个对比是很有意思的，学数学需要一些豁然开朗的事情才会有趣，才能提高。
例12 计算积分
。
解 仅凭观察该积分的外形，就知常规手法一定不行，故用对称性原则一试。
引入
（请思考一下上式的几何含义是什么？事实是φ（x）关于点
呈中心对称状）
注 上述解法的本质就是拼图游戏，即将两块对称的复杂图形拼成了一个矩形。
习题4.1
1．求
。
2．假设f（x）满足f（x）＝f（x－π）＋sinx，且x∈［0，π］时，f（x）＝x，计算
。
3．计算
。
4．计算积分
（递推关系In＝In－2）；
5．记
并且有
6．求以下各积分的值
7．已知f（x）连续
的值。
（1999年数学（四））
8．设f∈C3（R），证
（北师大2004年）
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