第二节 时间数列分析的水平指标
一、发展水平
发展水平指的是时间数列中的每一个具体指标数值。它反映社会现象在某一时期或某一时点上的规模或水平，是计算其他动态分析指标的基础。发展水平既可以是总量指标，如工资总额、职工人数；也可以是相对指标或平均指标，如工人劳动生产率、人口出生率等。
发展水平通常用符号a表示。一个时间数列则用a0，a1，a2，…，an表示。不同的发展水平在时间数列中所处的位置各不相同，常将a0称为最初水平，an称为最末水平，a1，a2，…，an－1，称为中间水平。如将两个时期指标数值进行对比，分子指标称为报告期水平，分母指标称为基期水平。随研究目的的改变，分子、分母也会随之改变，也就是说，现在的报告期水平可以是将来的基期水平，这个时间数列的最末水平可以是另一个时间数列的最初水平。
应该注意:增加和增加到，降低和降低到是不同的概念，增加和降低为动态变化量；而增加到、降低到为一状态量。
二、平均发展水平
平均发展水平，又称序时平均数或动态平均数，是各个时期发展水平的平均值。它表明社会现象在一段时期内发展的一般水平。
序时平均数与空间平均数(静态平均数)有共同之处，都是将现象的数量差异抽象化，用来概括地说明社会现象的一般状况。但两者也有所区别，主要表现在以下几方面:
(1)序时平均数所平均的是社会现象在不同时期或不同时点上的数量差异；而静态平均数平均的是社会现象在同一时间不同地区间的数量差异。
(2)序时平均数是将不同时期的指标数值与时间项数对比形成的平均数；而静态平均数是同一时期内标志总量与总体总量对比的结果。
(3)序时平均数是从动态上说明现象的一般水平，计算依据是时间数列；静态平均数是同一时间上现象的一般水平，计算依据是变量数列。
由于时间数列有着不同的种类，因而序时平均数的计算方法也就有所不同。
(一)绝对指标时间数列计算序时平均数
由于绝对指标时间数列又可分为时期数列和时点数列，其性质各不相同，因而计算序时平均数的方法也有所不同。
1.时期数列计算序时平均数
由于时期数列中的各指标值具有可加性，序时平均数的计算可采用简单算术平均法。计算公式为:
式中:
根据表12.1的数据，计算我国1995～2010年国内生产总值的平均水平。
这表明，1995～2010年我国16年平均国内生产总值为170821.2亿元人民币。
2.时点数列计算序时平均数
时点数列有连续时点数列和间断时点数列之分。由此，时点数列的资料不同，计算序时平均数的方法也会不同。
(1)连续时点数列
统计分析中，一般将一天看做是一个时点，以“天”作为最小的时间单位，如果资料是逐日登记排列而形成的数列，视为连续时点数列。连续时点数列计算序时平均数，根据所掌握的资料不同，又分为如下两种情况。
一般情况，资料不是逐日登记，只在数值发生变动时才登记，其中第i个间隔为fi。这种情况采用加权算术平均数计算。计算公式为:
式中:ai为各时点指标值；fi为各时点指标值的持续天数。
特殊情况，资料逐日登记(f1=f2=f3=……=fn－1=1)且逐日排列。这种情况采用简单算术平均数计算。计算公式为:
式中:a:各时点指标值；n:时点项数，即天数。
［例12.1］2001～2010年我国高等院校招生数，求序时平均数。
表12.2 2001～2010年我国高等院校招生数
2001～2010年全国平均每年招生人数为:
即2001～2010年我国高等院校平均每年招生数量为516.4万人。
(2)间断时点数列
实际工作中，时点现象大都是间隔一段时间登记一次，只是间隔有相等和不等之分，因此，计算序时平均数便也分为两种情况。
①间隔不等的期末或期初资料
间隔不等的间断时点数列计算序时平均数的解题思路是:假定相邻的两个时点间的数值是均匀变动的，然后求出各时间间隔内的平均数，这时要以时间间隔长度作为权数对其加权。用fi表示时间间隔，其计算公式为:
［例12.2］2010年某社区各时点人口数量如下，求该社区年平均人口数。
表12.3 2010年某社区各时点人口数量
这种情况可以月份为单位，3月1日可以看作2月28(29)，余类似。
②间隔相等(f1=f2=f3=……=fn－1=f)的期末或期初资料。
间隔相等的时点数列计算序时平均数，可将首末两项指标值的二分之一，加中间各项指标值，再除以项数减1。计算公式为:
间隔相等的间断时点数列计其序时平均数的解题思路是:假定相邻的两个时点间的数值变动是均匀的。然后求出各时间间隔内的平均数，再对这些平均数进行简单算术平均。
［例12.3］根据表12.1的数据资料，计算1996～2010年这15年的平均人数，注意到给出的是年末人口数，可将1995年年末人口看成1996年年初人口，余类似，于是有
即1996～2010年中国大陆平均人数为12.85亿人。
应该注意的是，本方法计算的前提是，假定相邻的两个时点间的数值变动是均匀，或者是呈现线性变化的，否则无法用本方法计算。如风景旅游点，黄山、庐山等年底和年初人口都处旅游低谷，年内人口并非呈现线性变化，此时应该增加若干时点人口数据以求平均人口。
(二)相对指标时间数列计算序时平均数
相对指标时间数列本身比较复杂，大致有两个时期数列对比而成的相对指标数列，两个时点数列对比而成的相对指标时间数列，以及有一个时期数列和一个时点数列对比而成的相对指标时间数列。然而，计算平均数的思路是一样的，应该按其分子、分母的性质和特点，按照前文原则分别计算绝对值的平均指数或总和，而后转化计算出相对指标数列。
［例12.4］根据表12.1的数据，计算1995～2010年平均的我国人均国内生产总值。
即1995～2010年平均的我国人均国内生产总值为13298元。
(三)平均指标时间数列计算序时平均数
与相对指标时间数列一样，平均数时间数列中的各个指标数值同样不具有可加性，因而也不能由各平均数时间数列直接计算序时平均数。由于平均数时间数列是由两个总量指标时间数列对比形成的，其中，分子是标志总量数列，通常为时期数列，分母是总体单位总量时间数列，一般用于时点数列，因此，一般时间数列计算序时平均数，其计算方法类同相对指标时间数列。
［例12.5］某单位第一季度职工工资支出和职工人数资料如表12.4所示，求该单位第一季度月人均工资。
表12.4 某单位第一季度职工工资和职工人数资料
该单位第一季度平均每月工资支出(时期数)为:435367元
该单位第一季度平均每月职工人数(时点数):165人
该单位第一季度月人均工资2638.6元/人
三、增长量和平均增长量
(一)增长量
增长量是用来说明社会经济现象在一定时期内所增长的绝对数量，它是两个不同时期发展水平之差。计算公式为:
增长量=报告期水平－基期水平
由于采用的基期不同，增长量可以分为逐期增长量和累计增长量。逐期增长量是报告期水平ai与前一期水平ai－1之差，表明本期比上一期增长的绝对数量；累计增长量是报告期水平ai与某一固定时期水平a0之差，表明本期比某一固定时期增长的绝对数量。用符号表示为:
逐期增长量:a1－a0，a2－a1，…，an－an－1
累计增长量:a1－a0，a2－a0，…，an－a0
逐期增长量与累计增长量之间存在一定的关系，即一定时期内累计增长量等于相应的各逐期增长量之和。用符号表示为:an－a0=(a1－a0)+(a2－a1)+…+(an－an－1)。
必须指出，增长量是一个时期指标，不论由时期数列或时点数列计算得到的增长量，都是时期指标，因为一段时期内的增长量并非突然产生的。
由于月度数据、季节数据等短期数据容易受季节变化的影响，在实际工作中，为消除季节变化的影响，常计算报告期水平和上年同期水平之差，这种增长量常称作同比增长量或年距增长量，如CPI物价指数同比增长量等。其可以计算时期指标，同时适合计算时点指标。
(二)平均增长量
平均增长量是时间数列中各逐期增长量的序时平均数。它表明社会经济现象在一定时期内平均每期增减的绝对数量。由于增长量是时期指标，所以平均增长量可用简单算术平均法计算。其计算公式为:
平均增长量=逐期增长量之和/逐期增长量个数
=累计增长量/(时间数列项数－1)
［例12.6］已知1996～2010年我国各年国内生产总值(见表12．1)，请计算1996～2010年我国国内生产总值年平均增长量。
国内生产总值年平均增长量=(2010年GDP－1995年GDP)/15
=(401202.0－60793.7)/15
=22693.9(亿元/年)
即1995～2010年我国国内生产总值以每年22694亿元的速度递增。
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