周期函数的波形与傅里叶系数的关系

    

    傅里叶级数的系数决定于周期函数的波形。通过观察周期函数波形的某种对称性，可预见哪些系数存在，哪些系数为零，同时还能简化求这些系数的运算。下面讨论3种常见的周期函数的对称性。

    （1）周期函数f（t）是奇函数，即f（t）=-f（-t），函数的波形对称于坐标原点，如图5-3所示，则傅里叶级数中只含有正弦项，不含恒定分量和余弦项，即

    

    （2）周期函数f（t）是偶函数，即f（t） =f（-t），函数的波形对称于纵轴，如图5-4所示，则傅里叶级数中只含有恒定分量和余弦项，而没有正弦项，即

    

    

图5-3　周期性奇函数

    

图5-4　周期性偶函数

    （3）若周期函数f（t）前后半波对称，，如图5-5所示，则傅里叶级数中只含有奇次谐波，即

    所以f（t）称为奇谐波函数。

    证明

    

    

图5-5　前后半波对称的函数

    把上式等号右端第一个积分式中的t以代替，则得

    

    所以

    

    同理可得

    

    证毕。

    应当指出：由于系数ak和bk与计时起点的选择有关，所以周期函数是奇函数或偶函数，不仅与函数波形有关，还与计时起点选择有关。但函数是否是奇谐波函数与计时起点选择无关，只与函数波形有关。

    例5-1　图5-6所示为矩形波，求其傅里叶级数展开式。

    解　图5-6所示的矩形波既是偶函数，又是奇谐波函数，所以f（t）的傅里叶展开式中既不含正弦项，又不含恒定分量和偶次谐波，即bk=0，a0=0，ak =0（k为偶数）。所以

    

    

图5-6　例5-1图

    

    所以