向量组及其线性组合

    

    第i个方程的系数和常数项对应着一个n＋1维行向量

    （ai1，ai2，…，ain，bi），（i＝1，2，…，m）；第j个方程的系数和常数项对应着一个m维列向量

    （a1j，a2j，…，amj）T，（j＝1，2，…，n）和（b1，b2，…，bm）．

    该方程组的解：x1＝c1，x2＝c2，…，xn＝cn也可写成一个n维向量（c1，c2，…，cn），称为解向量．

    3．1．2　向量的线性运算

    若n维向量α＝（a1，a2，…，an），β＝（b1，b2，…，bn）的对应分量都相等，即ai＝bi，（i＝1，2，…，n）时，称α与β相等，记作α＝β．

    分量都是零的向量称为零向量，记作O，即O＝（0，0，…，0）．

    注意维数不同的零向量不相等，如O1＝（0，0）和O2＝（0，0，0）都是零向量，但　O1≠O2．

    向量（－a1，－a2，…，－an）称为向量α＝（a1，a2，…，an）的负向量，记作－α．

    定义3．1．2　设α＝（a1，a2，…，an），β＝（b1，b2，…，bn），那么向量（a1＋b1，a2＋b2，…，an＋bn）称为向量α与β的和，记为α＋β．

    由负向量可定义向量的减法：α－β＝α＋（－β）＝（a1－b1，a2－b2，…，an－bn）．

    定义3．1．3　设α＝（a1，a2，…，an）为n维向量，λ∈R，向量（λa1，λa2，…，λan）称为数λ与向量α的乘积，记作λα．

    向量的加法和数乘两种运算合起来统称为向量的线性运算，并且满足下面的运算规律（设α，β，γ是n维向量，λ，μ∈R）：

    （1）α＋β＝β＋α；

    （2）（α＋β）＋γ＝α＋（β＋γ）；

    （3）α＋0＝α；

    （4）α＋（－α）＝0；

    （5）1·α＝α；

    （6）λ（μα）＝（λμ）α；

    （7）λ（α＋β）＝λα＋λβ；

    （8）（λ＋μ）α＝λα＋μα．

    例3．1．1　设α1＝（1，1，0），α2＝（0，1，1），α3＝（3，4，1），求α1－α2及3α1＋2α2－α3．

    解　α1－α2＝（1，1，0）－（0，1，1）＝（1，0，－1）．

    3α1＋2α2－α3＝3（1，1，0）＋2（0，1，1）－（3，4，1）＝（0，1，1）．

    3．1．3　向量空间

    定义3．1．4　设V为n维向量的集合，如果V非空，且V对于向量的加法及数与向量的乘法运算封闭，则集合V为向量空间．

    所谓封闭，是指：若α，β∈V，则α＋β∈V；若α∈V，λ∈R，则λα∈V．如三维向量的全体R3＝｛（x，y，z）x，y，z∈R）｝是一个向量空间。因为任意两个三维向量之和仍然为三维向量，数与三维向量相乘也仍然是三维向量，类似的通常用Rn表示n维实向量空间．

    例3．1．2　证明集合V1＝｛（0，x2，…，xn）x 2，…，xn∈R）｝是一个向量空间．

    证　若α＝（0，a2，…，an）∈V1，β＝（0，b2，…，bn）∈V1，则

    α＋β＝（0，a2＋b2，…，an＋bn）∈V1，λα＝（0，λa2，…，λan）∈V1

    即V1对于向量的加法和数乘运算封闭，所以V1是一个向量空间．

    例3．1．3　证明集合V2＝｛（1，x2，…，xn）x 2，…，xn∈R）｝不是一个向量空间．

    证　因为若α＝（1，a2，…，an）∈V2，则2α＝（2，2a2，…，2an）∉V2，即V2关于数乘运算不封闭，所以V2不是向量空间．

    定义3．1．5　设有向量空间V1及V2，若V1⊂V2，则称V1是V2的子空间．

    如例3．1．2中V1∈Rn，可以称V1是Rn的子空间．

§3．2　向量组及其线性组合

    3．2．1　向量组的概念

    定义3．2．1　若干个n维行向量（列向量）所组成的集合称为n维行（列）向量组．

    例如，我们将4个3维行向量：α1＝（1，2，1），α2＝（－3，4，7），α3＝（2，－1，5），α4＝（4，6，1）称为3维行向量组．

    下面用矩阵分块的思想考察下列矩阵：

    对于一个3×4矩阵