傅里叶级数的指数形式

    

    由欧拉公式得

    

    因此，周期函数的傅里叶级数展开式可改写为

    

    

    复数Ck的模与辐角分别为

    

    由傅里叶系数公式（5-2）知，系数ak是谐波次数k的偶函数，bk是谐波次数k的奇函数，即

    

    所以

    

    则式（5-9）可写为

    

    式（5-10）就是傅里叶级数的指数形式。

    复系数Ck的计算公式可根据傅里叶系数ak和bk的计算公式导出，即

    

    令式（5-11）中的k =0，则有

    

    在傅里叶级数的指数形式表达式中，即式（5-10）中，谐波次数k的取值是从-∞到+∞之间的全部整数。当k =0时，，即恒定分量可以视为频率为零的谐波分量。当k ＜0时，是否意味着有“负频率”的谐波存在呢？否！因为在导出傅里叶级数的指数形式的过程中，表示各次谐波的三角函数化为复指数函数时，一个谐波分量是由两个同频率的共轭复指数函数合成的（见式（5-9）），而不是只取一个正频率或负频率的复指数函数来代表一个谐波分量。所以“负频率”的谐波分量是不存在的。

    例5-6　图5-9所示的矩形脉冲电压，其脉冲幅值为m，脉冲持续时间（脉冲宽度）为τ，脉冲重复周期为T。试将此矩形脉冲电压展开为傅里叶级数的指数形式。

    解　根据式（5-11）

    

图5-9　矩形脉冲电压

    

    式中，故上式又可写为