逻辑代数基本公式

    1．2．5．1 逻辑代数的基本定律

    1．常量和常量之间的关系

    2．变量和常量之间的关系

    3．与普通代数相似的定理

    交换律: A+B=B+A A·B=B·A

    结合律: (A+B) +C=A+(B+C)

    分配律: A·(B+C) =A·B+A·C

    A+(B·C) =(A+B)·(A+C)

    4．逻辑代数的一些特殊定理

    重叠律: A+A=A，A·A=A

    非非律: A=A

    5．德·摩根定理(又称反演律)

    反演律可用真值表证明(表1－13)。

    表1－13 反演律的证明

    6．一些常用公式

    公式二 A+A·B=A

    =1(A+B)

    =A+B

    这个公式说明，在一个与或表达式中，如果一个乘积项的反是另一个乘积项的因子，那么这个因子就是多余的。

    公式四和公式五说明，若两个乘积项中一项包含了原变量A，另一项包含了反变量¯A，而这两项的其余因子又构成了第三个乘积项，或者构成了第三个乘积项的因子，则第三个乘积项可消去。

    1．2．5．2 逻辑代数的基本规则

    1．代入规则

    在任何一个逻辑等式中，如果将等式两边的某一变量都代入相同逻辑函数，则等式仍然成立，这个规律称为代入规则。

    可见，利用代入规则可以扩大上述公式的应用范围。

    2．反演规则

    对任何一个逻辑函数Y，只要把式中所有的“·”换为“+”、“+”换为“·”，“0”换为“1”、“1”换为“0”，原变量换为反变量、反变量换为原变量，所得到的新函数即为原函数的反函数，这个规则称为反演规则。

    例1－10 求Y1和Y2的反函数。

    解 按反演规则可直接写出Y1和Y2的反函数

    在反演过程中，注意遵守两个原则: ①对不是一个变量的非号应保持不变。②运算先后次序不变。

    3．对偶规则

    对任何一个逻辑函数表达式，如将式中的“·”换为“+”，“+”换为“·”，“0”换为“1”，“1”换为“0”，所得到的逻辑函数式是原来逻辑函数式的对偶式，记作Y'。

    对偶规则: 若两个逻辑函数式相等，则它们的对偶式也相等。

    例1－11 求Y=A·(B+¯C)的对偶式。

    解 Y'=A+B·¯C

    利用对偶规则可以减少公式的证明。例如，分配律为A(B+C) =AB+AC，求这一公式两边的对偶式，则有分配律A+BC=(A+B)(A+C)也成立。

    由此可见，利用对偶定理，可以使证明和记忆的公式数目减少一半。