主成分分析的计算步骤

    设有n个样本，每个样本观测指标（即变量）：X1，X2，…，Xp构成原始数据矩阵：

    则主成分分析的主要计算步骤如下：

    步骤1：将逆指标（越小越好的指标）变换为正指标（越大越好的指标），通常取负或取其倒数。

    步骤2：原始数据标准化，消除由于数据量纲不同带来的不利分析的影响。 变量标准化公式为：

    其中，xj和 var（xj）分别表示第j个变量的均值和标准差。

    为方便记，假定原始数据经过标准化后仍然用X表示，那么，X＝（x1，x2，…，xp）′的p个变量综合成p个新变量；新的综合变量可以由原来的变量x1，x2，…，xp线性表示。即：

    并且满足

    步骤3：建立数据阵X的相关系数矩阵：R＝（rij）p*p。

    步骤4：求R的特征根λ1≥λ2≥…≥λp≥0及对应的特征向量ei（i＝1，2，…，p）。

    步骤5：计算累计贡献率Mk，并根据累计贡献率Mk的大小来确定主成分的个数。一般的，当Mk≥85％时，取前k个主成分来代替原来的p个指标变量的信息。其中，第i个主成分的表达式为：

    Fi＝a1iX1＋a2iX2＋…＋apiXp，i＝1，2，…，k （4．4．9）

    步骤6：计算主成分负荷：

    由此，可以进一步计算得到主成分得分：