高考数学填空题之方程质异

由 范文之家 分享时间：2023-06-20 20:36:37 加入收藏我要投稿点赞

高考数学填空题之方程质异

形同质异———二次曲线的切线及切点弦

张思意

近几年高考中，常考查二次曲线的切线及切点弦，不少同学对此感到很困难。本文将二次曲线的切线及切点弦做出探索，希望能更好地对这个知识点有整体的认识及把握，从而能更好地解决这类问题。

一、圆的切线及切点弦

(一)过圆上一点的切线

已知圆(x－a)²+(y－b)²= r²上一点P(x₀，y₀)，则过P点的圆的切线方程为:(x₀－a)(x－a)+(y₀－b)(y－b)= r²。特别地:当圆的方程为x²+ y²=1时，切线方程是x₀ x+ y₀ y= 1

1．(2009年全国)已知圆O:x²+ y²= 5和点A(1，2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于＿＿。

解析:∵A(1，2)在圆x²+ y²=5上，

∴过A点与⊙O相切的直线方程为x+2y=5，与坐标轴交点为。

2．(2010年广东模拟)过单位圆x²+ y²=1是位于第一象限的任意一点作圆的切线，则该切线与两坐标轴所围成的三角形面积的最小值是＿＿

解:设切点坐标为(x₀，y₀)，则切线方程为xx₀+ yy₀= 1，该切线与两坐标轴的交点坐标分别是，故切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是，又=1，故=1，即切线与两坐标轴所围成的三角形面积的最小值是1。

3．(2009年江西改编)设直线系M:x cosθ+(y－2)sinθ=1(0≤θ≤2π)，则下列命题中是真命题的个数是( C)

①存在一个圆与所有直线相交　　②存在一个圆与所有直线不相交

③存在一个圆与所有直线相切　　④M中所有直线均经过一个定点

⑤存在定点P不在M中的任一条直线上

⑥对于任意整数n(n≥3)，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上

⑦M中的直线所能围成的正三角形面积都相等

A．3　　B．4　　C．5　　D．6

解析:M为圆C:x²+(y－2)²=1的全体切线组成的集合，所以存在圆心在(0，2)，半径大于1的圆与M中所有直线相交，也存在圆心在(0，2)，半径小于1的圆与M中所有直线均不相交，也存在圆心在(0，2)，半径等于1的圆与M中所有直线相切，所以①②③⑤⑥正确

(二)圆的切点弦

(1)定义:已知圆(x－a)²+(y－b)²= r²，圆外一点P(x₀，y₀)，则过P点可做圆的两天切线PA、PB，切点分别为A、B则线段AB称为圆的切点弦，直线AB称为圆的切点弦方程。

(2)推导:设A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)由圆的切线知识可知:

直线PA、PB的方程分别是

(x₁－a)(x－a)+(y₁－b)(y－b)= r²

(x₂－a)(x－a)+(y₂－b)(y－b)= r²

因P(x₀，y₀)在两直线上，所以有

(x₁－a)(x₀－a)+(y₁－b)(y₀－b)= r²

(x₂－a)(x₀－a)+(y₂－b)(y₀－b)= r²

由两点确定直线得直线AB得方程为:(x₀－a)(x－a)+(y₀－b)(y－b)= r²。

特别地:当圆的方程为x²+ y²=1时，切点弦所在直线方程是x₀ x+ y₀ y=1。

这与前面得到的圆的切线方程外形一致。真是“形同质异”。下面我们看看切点弦知识的运用。

若椭圆=1的焦点在x轴上，过点作圆x²+ y²= 1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是。

这是高考中填空题最难的一题了。我们应用两种不同的方法看看。

方法一:应用切点弦知识很快可以得到:直线AB方程为．代入P(c，0)、Q(0，b)得c= 1，b= 2．根据公式，即椭圆方程为:

方法二:设过点的直线方程为:当斜率存在时，y= k(x－1)+，根据直线与圆相切，圆心(0，0)到直线的距离等于半径1可以得到k=，直线与圆方程的联立可以得到切点的坐标，当斜率不存在时，直线方程为:x= 1，根据两点A:(1，0)，B:可以得到直线:2x+ y－2= 0，则与y轴的交点即为上顶点坐标(2，0)→b=2，与x轴的交点即为焦点→c= 1，根据公式，即椭圆方程为: