先讨论二元函数z＝f（x，y）当点P（x，y）趋近于点P0（x0，y0）时的极限．与一元函数的极限概念类似，如果当P（x，y）以任意方式趋近于P0（x0，y0）时，对应的函数值f（x，y）都趋近于一个确定的常数A，则称A为函数f（x，y）当P（x，y）趋于P0（x0，y0）时的极限．其严格定义如下：
定义1 设函数z＝f（x，y）的定义域为D，A为某一常数．如果对任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对D内的所有满足
的点P（x，y），对应的函数值满足
则称A为函数f（x，y）当（x，y）趋于（x0，y0）时的极限．记为
定义中P0（x0，y0）可以是f（x，y）定义域的内点，也可以是边界点．唯一要求是任何时候，点P（x，y）要留在f（x，y）的定义域内．
二元函数极限的定义在形式上与一元函数极限的定义没有多大的区别，但二元函数的极限较一元函数要复杂得多，因为它要求点P（x，y）以任何方式或沿任何路径趋于点P0（x0，y0）时，函数值f（x，y）都趋于同一个常数A．因此，如果P（x，y）沿两条不同的路径趋于点P0（x0，y0）时，f（x，y）趋于不同的值，则可以断定函数的极限不存在．
例1 讨论二元函数
当（x，y）趋于（0，0）时的极限．
解 我们让点（x，y）沿着不同的路径趋于点（0，0）．
令y＝x，即当（x，y）沿直线y＝x趋于（0，0）时，有
又令y＝0，即当（x，y）沿直线y＝0趋于（0，0）时，有
可见，沿不同的路径f（x，y）趋于不同的值，因此所讨论的极限不存在．
以上关于二元函数的极限概念可相应地推广到n元函数上去．
多元函数极限具有与一元函数极限相类似的性质，一元函数关于极限的运算法则对多元函数仍适用．
有了多元函数的极限概念，就可以定义多元函数的连续性．
定义2 设二元函数z＝f（x，y）在点（x0，y0）有定义，如果
则称函数f（x，y）在点（x0，y0）处连续，并称点（x0，y0）为函数f（x，y）的连续点．
如果函数f（x，y）在区域D的每一点处都连续，则称函数f（x，y）在D内连续，或者称f（x，y）是D内的连续函数．
以上关于二元函数的连续性概念，可相应推广到n元函数上去．
对于多元函数的连续性，我们有以下结论：
（1）一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时，它们在各自的定义域内都是连续的．
（2）与一元函数完全类似，多元连续函数的和、差、积、商（分母不为零处）以及复合函数都是连续函数．
（3）一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的．
这里的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．而多元初等函数是指可用一个式子表示的函数，这个式子是由常数及不同自变量的一元基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算得到的．例如sin（x＋y），ln（1＋x2＋y2）等．
（4）由多元初等函数的连续性可知，如果点P0在多元初等函数f（P）的定义区域内，则
解
解 因为
所以
有界闭区域上的二元连续函数也有闭区间上的一元连续函数的类似性质．例如，有界闭区域上的二元连续函数必定有界，且取得最大值和最小值．
1．求下列函数的极限：
2．讨论函数
在点（0，0），（1，0）及（1，2）处的连续性．
3．讨论下列极限是否存在：
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