1）空间直角坐标系
在空间任意取一定点O，过点O作三条两两互相垂直的数轴，它们都以O为原点，且具有相同的长度单位．这三条数轴分别称为x轴、y轴和z轴，统称为坐标轴．这样的三条坐标轴就构成一个空间直角坐标系，点O称为坐标原点．
习惯上常把x轴和y轴置于水平面上，z轴置于铅垂线上，并按右手法则规定三条坐标轴的正方向：用右手握住z轴，大拇指指向z轴的正向，其余四指从x轴正向以
的角度转向y轴正向，如图6.1所示．
图6.1
对于空间中的任意一点M，过点M分别作与x轴、y轴和z轴垂直的平面，且与这些轴的交点依次为P，Q，R，如图6.2所示．设这三点在对应轴上的坐标依次为x，y，z，则点M唯一地确定了一个三元有序数组（x，y，z）．反之，设（x，y，z）为一已知的三元有序数组，把这些数依次作为x轴、y轴和z轴上点的坐标，则确定三点P，Q，R，过这三点作其所在轴的垂直平面，得唯一交点M，故有序数组（x，y，z）唯一地确定了空间一点M．这样，空间任意一点M就和一个三元有序数组（x，y，z）建立了一一对应关系．三元有序数组（x，y，z）称为点M的坐标，记为M（x，y，z）．
图6.2
例如，坐标原点O的坐标为（0，0，0），点P的坐标为（x，0，0），点Q的坐标为（0，y，0），点R的坐标为（0，0，z）．
三条坐标轴中任意两条都能确定一个平面，这些平面统称为坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面和zOx平面．三个坐标平面将空间分成八个部分，每个部分称为一个卦限．在xOy平面上方有四个卦限，含有x轴、y轴和z轴正半轴的那个卦限称为第一卦限，其他依次称第二、第三、第四卦限，按逆时针方向确定；在xOy平面下方有四个卦限，第一卦限下方的为第五卦限，其他依次为第六、第七、第八卦限，按逆时针方向确定，如图6.3所示．
图6.3
设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2）为空间中任意两点，过A，B两点各作三个平面分别垂直于三个坐标轴，得一以线段AB为对角线的长方体，如图6.4所示．长方体各棱与坐标轴平行，其长度分别为｜x2－x1｜，｜y2－y1｜，｜z2－z1｜．因此，由勾股定理知点A与点B之间的距离
图6.4
特别地，点M（x，y，z）与原点O的距离
2）空间曲面与方程
与平面解析几何中建立曲线与方程的对应关系一样，可以建立空间曲面与三元方程F（x，y，z）＝0的对应关系．
定义1 如果方程F（x，y，z）＝0与曲面S存在关系：曲面S上的点的坐标（x，y，z）都满足方程F（x，y，z）＝0，且不在曲面S上的点的坐标（x，y，z）都不满足方程F（x，y，z）＝0，则方程F（x，y，z）＝0称为曲面S的方程，而曲面S称为方程F（x，y，z）＝0的图形．
例1 求球心为点M0（x0，y0，z0）、半径为R的球面的方程．
解 所求曲面是到定点M0（x0，y0，z0）的距离等于R的动点M（x，y，z）的集合，故｜MM0｜＝R．由距离公式有
两边平方得所求方程
当M0与坐标原点O重合时，球面（图6.5）方程为
图6.5
例2 一平面平分并垂直于点M1（1，－1，2）和M2（0，－2，－1）间的线段，求平面方程．
解 所求平面就是与点M1和M2等距离点的集合．设M（x，y，z）为所求平面上的任意一点，则有｜MM1｜＝｜MM2｜，由距离公式
两边平方，然后化简得所求平面方程
可以证明，空间中任意一平面的方程为三元一次方程
Ax＋By＋Cz＋D＝0．
其中A，B，C，D均为常数，且A，B，C不全为0．
例3 研究曲面x2＋y2＝R2的形状．
解 方程x2＋y2＝R2在xOy平面上表示以原点为圆心，以R为半径的圆．方程不含z，意味着z可取任意值，只要x与y满足x2＋y2＝R2即可．所以，这个方程表示的曲面是由平行于z轴的直线沿xOy平面上的圆x2＋y2＝R2移动而形成的圆柱面，如图6.6所示．xOy平面上圆x2＋y2＝R2称为它的准线，平行于z轴的直线称为它的母线．
图6.6
例4 研究曲面x2＋y2＝z的形状．
解 用平面z＝c去截曲面x2＋y2＝z，得空间曲线
当c＞0时，表示平面z＝c上以点（0，0，c）为圆心，以
为半径的圆；
当c＝0时，得交点（0，0，0），表示平面z＝0与曲面只交于一点；
当c＜0时，平面与曲面无交点．
用平面x＝a和y＝b去截曲面，分别得到
均为抛物线．
称曲面x2＋y2＝z为旋转抛物面，如图6.7所示．
图6.7
为了介绍二元函数的概念，有必要介绍有关平面点集的一些知识．所谓平面点集，就是平面上具有某种性质P的点的集合．
1）邻域
设P0（x0，y0）为xOy平面上一点，δ是某一正数，平面上与点P0的距离小于δ的点P（x，y）的全体
称为点P0的δ邻域，记为U（P0，δ）．而
几何上，U（P0，δ）就是平面上以点P0为圆心、δ为半径的圆内部．
如果不需要强调邻域的半径δ，则用U（P0）表示P0的某个邻域，用
表示P0的某个去心邻域．
2）区域
下面在邻域的基础上介绍有关平面点集的一些基本概念．
设E是一平面点集，P0是平面上的一点．
图6.8
如果存在P0的某个邻域U（P0），使得
，则称P0是E的内点，如图6.8中的P1；如果E的每个点都为它的内点，则称E为开集．
如果P0的任意一个领域U（P0）内既含有属于E的点，又含有不属于E的点，则称P0是E的边界点，如图6.8中的P2；E的边界点的全体称为E的边界．
显然，E的边界点可以属于E，也可以不属于E．
开集连同它的边界一起构成的点集称为闭集．
如果点集E内的任意两点可以由折线连接起来，且该折线上的点都属于E，则称E为连通集．
连通的开集称为开区域（简称区域）；开区域连同它的边界一起构成的点集称为闭区域．
如果点集E能被包含在一个以原点为圆心、半径充分大的圆内，则称E为有界集，否则称为无界集．
例如，点集｛（x，y）｜x2＋y2＜2｝是有界区域，而点集｛（x，y）｜x＋y≥0｝是无界闭区域．
最后简要介绍n维空间的概念．
n维空间是指n元有序实数组（x1，x2，…，xn）的全体构成的集合，记为Rn．其中每一个n元有序实数组（x1，x2，…，xn）称为空间的点，数x1，x2，…，xn称为这个点的坐标．
n维空间的点M1（x1，x2，…，xn）与M2（y1，y2，…，yn）的距离定义为
在n维空间Rn中引入两点距离的定义后，前面讨论过的有关平面点集的一系列概念可以推广到n维空间中．
类似于一元函数的定义，我们有如下定义：
定义2 设D是一个非空的平面点集，如果按照某一确定的对应法则f，D中每一点（x，y）都有唯一的一个实数z与之对应，则称f是定义在D上的二元函数，记为
其中D称为函数的定义域，x，y称为自变量，z称为因变量．
D中任一点（x，y）按对应法则f所对应的实数z称为函数f在点（x，y）的函数值，记为z＝f（x，y）．所有函数值的集合
称为函数的值域．
类似可定义三元函数u＝f（x，y，z），（x，y，z）∈D以及三元以上的函数．一般地，把定义中的平面点集D换成n维空间Rn中的点集D，对应法则f就称为定义在D上的n元函数，记为
当n＝2或n＝3时，习惯上将点（x1，x2）与点（x1，x2，x3）分别写成（x，y）与（x，y，z）．
当n＝1时，n元函数就是一元函数．当n≥2时，n元函数统称为多元函数．
与一元函数类似，我们通常所说的多元函数定义域是指它的自然定义域，即是使表达式u＝f（x1，x2，…，xn）有意义的所有点（x1，x2，…，xn）构成的集合．
例5 求下列函数的定义域：
（1）z＝ln（x＋y）；
（2）
解 （1）要使表达式ln（x＋y）有意义，必须有
x＋y＞0，
所以函数的定义域为
是一个无界开区域，如图6.9所示．
图6.9
（2）要使表达式ln（4－x2－y2）有意义，必须有
从而定义域为
在xOy平面上表示以原点为圆心，半径分别为1和2的两同心圆所围成（包含内圆x2＋y2＝1，不包含外圆x2＋y2＝4）的圆环，如图6.10所示．
图6.10
类似一元函数，称空间点集
为二元函数z＝f（x，y），（x，y）∈D的图形．通常，二元函数的图形是空间中的一张曲面．
例如，二元函数
的图形就是个球心在坐标原点、半径为1的上半球面，如图6.11所示．
图6.11
1．求点M（4，－3，5）到坐标原点、各坐标轴的距离．
2．求x轴上一点M，使它到点P（1，3，－4）的距离为5．
3．设点A（2，－1，1），B（3，0，－2），求线段AB的垂直平分面方程．
4．证明以点A（1，－1，3），B（2，1，－7）和C（4，2，6）为顶点的三角形是直角三角形．
5．求下列函数的定义域，并画出定义域的图形：
（1）
（3）
（7）
6．设函数f（x，y）＝x3－2xy＋3y2，求：
（1）f（－2，3）；
（2）f（x＋y，x－y）．
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