同态与同构

    定义6．10 对于两代数结构设V1＝＜S；1，2，…，r＞和V2＝＜S′；＊1，＊2，…，＊r＞，若满足：

    1）是同型的代数结构，即二代数结构运算个数相同，对应的运算的元数也相同；

    2）存在从S到S′的一个映射f；

    3）在映射f下，V1到V2保持运算，即对于V1中ki元运算i（i＝1，2，…，r），若任意（x1， x2，…，xki）∈Ski，都有：f（i（x1，x2，…，xki））＝＊i（f（x1），…，f（xki）），＊i为V1中与oi对应的ki元运算。

    则称f是V1到V2的一个同态映射，简称同态，S′是S在f下的同态像，并称V1与V2是同态的，记为V1～V2。若f为满射（单射）映射，则称f是V1到V2的一个满（单）同态映射，简称满（单）同态。若f为双射映射，则称f是V1到V2的一个同构映射，简称同构，S′是S在f下的同构像，并称V1与V2是同构的，记为V1≌V2。代数结构到自身的同态或同构映射，分别称为代数结构的自同态或自同构映射，简称自同态或自同构。

    如果f为代数结构＜S；＊＞到＜S′；＊′＞的同态，并且S′中有单位元e′，那么称集合K （f）＝｛x｜x∈S∧f（x）＝e′｝为同态f的核，记为Ker（f）。

    定理6．4 设代数结构＜X；＞与＜Y；＊＞同构，即存在一个一一映射g：X→Y，使得x1， x2∈X，则有：g（x1x2）＝g（x1）＊g（x2）。

    1）若＜X；＞满足结合律，则＜Y；＊＞也必满足结合律。

    2）若＜X；＞满足交换律，则＜Y；＊＞也必满足交换律。

    3）若＜X；＞存在单位元ex，则＜Y；＊＞亦存在单位元ey，且有g（ex）＝ey。

    4）若＜X；＞对每个x∈X均存在逆元x－1，则＜Y；＊＞对每个y∈Y亦存在逆元素y－1，并且若g（x）＝y，则g（x－1）＝y－1。

    5）若＜X；＞存在零元素z，则＜Y；＊＞必存在零元素z′，且有g（z）＝z′。

    6）若＜X；，＊＞满足分配律，且＜X；，＊＞与＜Y；⊕，☉＞同构，则＜Y；⊕，☉＞亦满足分配律。